Efter 23 minutter leverede Eriksen et perfekt frispark, som havnede lige foran Casemiro, der effektiv hamrede bolden i kassen.
Det var den danske landsholdsspillers sjette assist i Premier League i denne sæson. Danskeren er også noteret for et enkelt ligamål.
I slutningen af første halvleg udgik Donny van de Beek med en skade. Ind kom kantspilleren Alejandro Garnacho.
Den argentinske indskifter diskede op med en assist til backen Luke Shaw, som scorede til 2-0 fire minutter inde i anden halvleg.
Angriberen Marcus Rashford cementerede sejren med målet til 3-0 på et oplæg fra midtbanespilleren Bruno Fernandes.
I slutningen af kampen sørgede United-keeper David De Gea for at holde buret rent, da spanieren fik verfet et godt forsøg fra Bournemouths angriber Jaidon Anthony til hjørnespark.
Philip Billing fik de første 76 minutter for Bournemouth, og det var otte minutter mere end landsmanden Eriksen, som fik håneretten i det lille danskeropgør.
Med sejren har United 35 point efter 17 kampe på en fjerdeplads i Premier League. Holdet har nu fem point ned til Tottenham på femtepladsen.
Bournemouth, der ikke havde Emiliano Marcondes med i truppen til tirsdagens kamp, er nummer 15 med 16 point efter 18 kampe. Oprykkerne har to point ned til Nottingham Forest under nedrykningsstregen.