Energidrikfirmaet, som ejer Dortmunds Bundesliga-rival RB Leipzig sammen med hold i Salzburg og New York, kom med den overraskende meddelelse onsdag, og den tidligere Liverpool-træner starter i sin rolle i januar.
Klopp blev en lokal helt i Dortmund og leverede to Bundesliga-titler og en tysk pokal i løbet af sine syv år i klubben, mens han også førte dem til Champions League-finalen i 2013.
Dortmunds fanzine Schwatzgelb siger imidlertid, at Klopp har ødelagt sit omdømme og "revet det ned med et brag".
Den kritiserer også Klopps selvbetegnelse som "den normale", en ironisk henvisning til Jose Mourinhos erklæring om, at han var "The Special One", da han kom til Chelsea.
"Den normale er desværre normal på alle niveauer. Normal som alle andre i denne beskidte branche," skrev magasinet.
"Jürgen Klopps beslutning om at støtte Red Bull har ødelagt hans livsværk, i hvert fald for en stor del af fansene i Dortmund og i Tyskland," stod der, mens han tilføjede, at han havde givet en "stor langfinger" til Dortmunds fans.
Han havde bevaret sit ry i Dortmund på trods af, at han skiftede til Liverpool i 2015, hvor han vandt flere titler, herunder Champions League og Premier League, inden han trak sig tilbage i sommer med henvisning til manglende energi.
Han fik en begejstret modtagelse ved en testimonialkamp i september foran 81.365 fans på Dortmunds Westfalenstadion.
Hans villighed til at udtale sig om sociale spørgsmål - herunder kommercialisme i fodbold - har også været en del af hans eftermæle, ligesom hans image som "manden på gulvet" har været det.
I England talte han imod, at kamptidspunkterne blev bestemt af tv-netværk, og han talte også om de bredere emner som for eksempelvis Brexit.
Han var åbenlyst kritisk over for European Super League i 2021 på trods af støtte fra Liverpools ejerskab til udbryderkonkurrencen.
Hans beslutning om at tage jobbet hos Red Bull har irriteret Dortmund-tilhængere, der ligesom mange fans i Tyskland har en langvarig modvilje mod RB Leipzig.
Nogle fans mener, at Leipzig, der blev grundlagt i 2009, ikke er i overensstemmelse med Tysklands 50+1-regel, som kræver medlemskontrol af klubberne, mens andre har kritiseret Red Bulls ejerskabsmodel med flere klubber.
"Ingen overraskelse"
Overraskelsen over Klopps beslutning var dog ikke universel, selv ikke i Dortmund, hvor administrerende direktør Hans-Joachim Watzke ønskede ham "held og lykke i hans nye job".
"Det var ingen overraskelse for mig, fordi vi talte om det personligt," sagde han til SID onsdag.
Klopp har tidligere forsvaret Red Bull-modellen, mens han kaldte sig selv for en fodbold-"traditionalist".
I et interview med DFL, som organiserer Bundesligaen, sagde Klopp, at han "forstår, hvordan RB Leipzig blev kritiseret af fodboldtraditionalister - som jeg er en af. Men jeg synes ikke, at Leipzig har taget noget fra de traditionelle klubber, de er bare gået deres egen vej. De tjener ikke flere penge end Dortmund eller Bayern. De udvikler unge spillere - hele idéen er en fodboldidé og ikke en pengeidé."
Den tidligere Manchester United-træner Ralf Rangnick, som havde den samme stilling, som Klopp overtager i januar, siger:
"Det bliver helt sikkert spændende at se, hvad Jürgen kan bidrage med."