Svenskeren, som er alvorligt kræftsyg, var engelsk landstræner fra 2001 til 2006.
Brevet har fået titlen "Kære Gareth, gør det for mig, Bobby Robson og England". Det er bragt forud for søndagens EM-finale mellem England og Spanien.
De engelske herrer har kun én gang i historien vundet en slutrunde. Det var VM i 1966 med Alf Ramsey som landstræner.
"Jobbet som engelsk landstræner kommer med et enormt pres. Man hører så meget om 1966, og hvad holdet under Sir Alf Ramsey gjorde, og du ved, hvor meget pres der er på dig for at sætte en stopper for alle de års smerter. Jeg har følt det. Sir Bobby Robson følte det. Samtlige 13 landstrænere efter Sir Alf har følt det. Ingen af os lykkedes, men ingen er kommet tættere end Gareth Southgate," skriver Eriksson blandt andet.
Under Southgate har England leveret konstant gode resultater. Han blev landstræner i 2016. Efterfølgende er det blevet til en VM-semifinale i 2018 samt en VM-kvartfinale i 2022. Ved EM for tre år siden kom England frem til finalen, og på søndag venter en ny EM-finale under Southgates ledelse.
Eriksson mener, at Southgate uden tvivl er den bedste engelske landstræner siden Alf Ramsey.
Svenskeren havde i sin tid et stjernespækket landshold med profiler som David Beckham, Frank Lampard og Steven Gerrard på holdet. Men England i 00'erne har ikke været i nærheden af at levere som det nuværende landshold.
"Jeg ville elske at se England vinde. Det samme ville alle landstrænere, som har forsøgt og fejlet siden VM i 1966. Kom så, Gareth. Gør det, vi ikke kunne," skriver Eriksson.
Finalen spilles i Berlin med kampstart klokken 21 søndag.