Islandsk chok kan være et godt wake-up call for England, siger Chelsea-profil
Gareth Southgates mænd tabte 1-0 på Wembley i deres sidste EM-test før afrejsen til Tyskland.
England er dog fortsat en af favoritterne før turneringen takket være en overflod af offensive talenter, herunder Harry Kane, Jude Bellingham, Phil Foden og Bukayo Saka.
De forventes at cruise gennem en gruppe, der også omfatter Danmark og Slovenien, og Gallagher håber, at den islandske præstation vil udrydde enhver fare for selvtilfredshed.
"Det er meget vigtigt (at vinde åbningskampen) i turneringsfodbold," siger Chelsea-midtbanespilleren.
"Bare at gøre det første så godt som muligt - selv om det er den rigtige aflevering, at vinde sin tackling, at vinde sit hovedstød, andenbolde, at gøre det basale - for at give holdet selvtillid til at gå ud og vinde den første kamp.
"Det var ikke et godt resultat og ikke den bedste præstation (mod Island). Men det kan være godt, at det skete.
"Det kan være et wake-up call for os om, at det ikke er let at vinde kampe mod noget land, og vi kan være mere end klar til at slå Serbien."
Gallagher kommer ind i turneringen med en usikker fremtid i Chelsea
Selv om han var anfører for Chelsea i store dele af sidste sæson under Mauricio Pochettino, kan Chelsea forsøge at lette presset for at opfylde de økonomiske regler ved at sælge en af klubbens profiler.
Gallagher tiltrækker angiveligt interesse fra Tottenham og Aston Villa.
På trods af at han insisterer på, at hans fokus er på at gøre en ende på Englands 58 år lange ventetid på at vinde en stor turnering, var Gallagher fuld af lovord om Pochettino, som forlod Chelsea efter kun én sæson i spidsen for klubben i sidste måned.
"Jeg er kommet langt i denne sæson. Jeg giver en masse kredit til Pochettino, og hvad han har gjort for mig," tilføjede den 24-årige.
"Det sætter mig i en bedre position til at være på holdet i denne turnering.
"Han viste bare sin tro og tillid til mig, og det er alt, hvad en spiller ønsker. Hvis en manager viser dig lidt kærlighed, får det dig til at spille bedre, og det giver dig kort sagt selvtillid, og det var det, han gav mig."
Englands forberedelser til åbningskampen fik et løft torsdag, da Manchester City-forsvareren John Stones vendte tilbage til træningen efter at have misset onsdagens session på grund af sygdom.