Ude slog London-klubben Philip Billing og Bournemouth 2-0 på mål af James Maddison og Dejan Kulusevski efter regulære mønsterangreb.
Pierre-Emile Højbjerg startede igen på bænken og fik en halv time på midtbanen, hvilket er hans hidtil længste optræden under Postecoglou i en officiel kamp.
Med sejren topper Tottenham foreløbigt Premier League med syv point for tre kampe, efter at det tidligere efter blevet 2-2 hos Brentford og 2-0 over Manchester United.
Bournemouth har omvendt blot et point for tre kampe, og lørdag ydede holdet kun i glimt udeholdet kvalificeret modstand.
Philip Billing forlængede tidligere på ugen sin kontrakt med hjemmeholdet, og den danske landsholdsbobler spillede som vanligt en fremtrædende rolle og havde et af værternes få nærgående forsøg i opgøret.
Tottenham skabte omvendt en håndfuld store chancer, og to dem blev vekslet til mål efter noget, der kunne lignede skabeloner fra træningsbanen.
Efter godt et kvarter byggede Tottenham tålmodigt op, og efter kvikt spil lagde midtbanespilleren Pape Sarr bolden mellem to forsvarsspillere til James Maddison, der sikkert eksekverede.
Opskriften var grundlæggende den samme efter godt 63 minutter.
Tålmodigt og hurtigt spil flyttede rundt på Bournemouth-defensiven, og den 20-årige italienske venstreback Destiny Udogie fik plads i venstre side, spillede bande og lagde bolden ind i fødderne på svenske Dejan Kulusevski, der satte foden på og øgede til slutcifrene 2-0.