Tottenham måtte nøjes med 1-1 mod Leicester City i sæsonpremieren i mandags, til stor frustration for Postecoglou og hans spillere, men de var kreative og kliniske og vandt let over Everton med en flot præstation.
"Jeg har altid håb, og jeg er optimistisk i hjertet. Man er nødt til at være optimistisk i vores branche, for der er meget, der kan få en ned med nakken," sagde Postecoglou til journalisterne.
"Præstationen (mod Leicester) var rigtig god, men når man ikke får et resultat, er der altid en smule tvivl.
"Vi spillede godt sidst og dominerede kampen, men i dag var det lidt anderledes. Drengene havde et stærkt mindset, og vi fik et rigtig godt mål tidligt og slap ikke taget efter det."
"Præstationen var god. Det er virkelig opmuntrende for os. Der er mere (forbedring). Vi vil gerne blive ved med at præstere."
Yves Bissouma scorede sit første Tottenham-mål mod Everton, efter at han var blevet suspenderet af klubben i kampen mod Leicester, fordi han var blevet taget på video i at indånde lattergas.
"Det er en god start (på sæsonen for Bissouma)," sagde Postecoglou.
"Han har stadig arbejde at gøre. Jeg tvivler ikke på hans fodboldkvalitet. Vi ønsker at gøre ham til den bedste version af sig selv. Det starter lige så meget uden for banen som på den."
Der er under en uge tilbage af transfervinduet, før det lukker på fredag, og Postecoglou antyder, at der stadig kan være spillere, der ankommer og forlader klubben.
Tottenham har allerede brugt klubrekorden på 65 millioner pund (572 millioner kroner) på at hente angriberen Dominic Solanke fra Bournemouth i dette vindue.
"Jeg synes, vi har brugt pengene fornuftigt," sagde Postecoglou.
"De spillere, vi har hentet ind, bliver fantastiske for klubben. Vi får se. Der er stadig et par spillere, som vi vil forsøge at sælge. Vi vil være opmærksomme."