De aarhusianske værter styrede mod sejren, efter den netop indskiftede Janni Serra 20 minutter før tid havde bragt hjemmeholdet på 1-0.
AGF-spillerne gjorde alt for at forsvare føringen, og det så ud til at lykkes, lige indtil at Falk svingede højrefoden.
I overtiden modtog FCK's Kevin Diks sin anden advarsel og blev udvist, så gæsterne måtte spille de sidste sekunder med en mand i undertal.
Det ene point betyder, at FCK indtager Superligaens andenplads med 23 point - ét point bag rivalerne fra Brøndby. AGF er lige uden for top-6 med 14 point på syvendepladsen.
Gæsterne kom bedst fra land i Aarhus og burde også have bragt sig foran efter 12 minutter, men Viktor Claessons sløje afslutning blev reddet tæt på stregen.
FCK pressede højt, og gæsternes hurtige og præcise boldomgang gjorde det svært for AGF at bryde spillet.
Værterne havde i det hele taget problemer med at komme frem til FCK's felt, og aarhusianerne havde ikke en eneste afslutning i første halvleg.
Kort før pausen var AGF-keeper Jesper Hansen på kikset vis tæt på at bokse bolden i eget net, men københavnerne skabte også fint med muligheder på egen hånd.
Angriber Diogo Goncalves flugtede fra en god position i feltet bolden over mål, og udeholdet kunne kun takke sig selv for, at stillingen var 0-0 ved pausen.
Hjemmeholdet kom langt bedre ud til anden halvleg, og nu var presset pludselig på FCK. Efter 51 minutter var AGF også tæt på scoring, men midtstopper Frederik Tingagers hovedstød sneg sig over målet.
Halvvejs i anden halvleg begyndte gæsterne at byde sig til igen, og de to mandskaber skiftedes til at angribe.
Efter 73 minutter blev dødvandet brudt af hjemmeholdet.
Den indskiftede AGF-angriber Janni Serra sendte efter en omstilling et skud afsted, som på vejen mod mål blev rettet af og strøg over Kamil Grabara i FCK-buret til 1-0. Det var Serras første AGF-mål.
Den helt store fest udeblev dog for AGF'erne, da Rasmus Falk dybt inde i overtiden spolerede den gode stemning.