Begiristain annoncerede for nylig sin plan om at træde tilbage, og Hugo Viana fra Sporting Lissabon er gået med til at erstatte Guardiolas betroede rådgiver.
Spanieren kom til City i 2012 efter at have arbejdet i samme rolle som fodbolddirektør i Barcelona mellem 2003 og 2010.
Begiristain anses for at have overbevist sin tidligere holdkammerat i Barcelona, Guardiola, om at blive City-manager i 2016.
"En del af mig rejser, vil jeg sige. Han er en af mine venner og en af arkitekterne bag et af de bedste hold nogensinde i Barcelona, og nu er han her," sagde Guardiola fredag.
"Jeg har kendt til beslutningen i lang tid, af familiemæssige og personlige årsager, og jeg ved, hvor taknemmelig han er for denne oplevelse her. Personligt vil han blive savnet meget. Han hjalp mig meget i min periode i Barcelona og selvfølgelig også her."
"Men jeg har den opfattelse, at klubben er solid og utrolig velstruktureret. Sådan skal det være. Alle familier er nødt til at komme videre, og klubben vil komme videre."
Begiristain gav Guardiola sit første managerjob i Barcelona - de to opbyggede et tæt venskab, da de spillede for klubben i 1990'erne.
City har haft en gylden æra med Guardiola og Begiristain ved roret.
De har vundet seks Premier League-titler, herunder de seneste fire i træk, og klubbens første Champions League-titel blandt en lang række andre trofæer.
Begiristains forestående exit vil rejse yderligere spørgsmål om Guardiolas fremtid, da hans kontrakt udløber ved udgangen af denne sæson.
Den 53-årige er endnu ikke blevet enig om en forlængelse, efter at han i sidste sæson antydede, at hans tid i England kunne være ved at være forbi.
Der har været rapporter om, at Viana ville tage den højt vurderede Sporting-chef Ruben Amorim med sig til City, hvis Guardiola besluttede sig for at gå.
Men spanieren nægtede endnu en gang at udtale sig om sine fremtidsplaner.
"Jeg er nødt til at beslutte mig. Jeg vil ikke tale om det. Det har jeg sagt mange gange, og forhåbentlig vil I alle sammen ikke spørge mig mere," sagde han.