Teamchef Fred Vasseur vil føre tilsyn med chassisområdet som en midlertidig foranstaltning.
Cardile har tilbragt næsten to årtier hos Ferrari, som ligger på andenpladsen i mesterskabet efter at have vundet to ud af 12 løb indtil videre, men som er i fare for at blive overhalet af genopståede McLaren, der kun er syv point efter.
Medierapporter i Italien har sat Cardile i forbindelse med rivalerne Aston Martin, hvis dobbelte verdensmester Fernando Alonso tidligere var hos Ferrari.
Loic Serra kommer til Ferrari fra Mercedes i oktober som chef for chassis performance engineering og ville have rapporteret til Cardile.
Sportens mest succesfulde og glamourøse hold forsøger også at rekruttere stjernedesigneren Adrian Newey, som har annonceret sin afgang fra Red Bull uden at sige, hvor han skal hen.
Aston Martin har også givet Newey et tilbud, ifølge F1-medier og britiske medier.
Den canadiske kører Lance Stroll, søn af Aston Martin-teamejeren Lawrence, sagde for nylig, at Newey var "en person, som alle ville elske at have i deres teamfarver".
Ferrari har den syvdobbelte verdensmester Lewis Hamilton, som vandt det britiske Grand Prix på hjemmebane i søndags, på vej fra Mercedes til næste sæson.
Det italienske team kæmpede på Silverstone, hvor Carlos Sainz sluttede på en solid femteplads med et bonuspoint for hurtigste omgang, mens Charles Leclerc måtte se sig henvist til en 14. plads - hans andet pointløse løb i træk.
Ferrari introducerede en opgraderingspakke ved sidste måneds spanske Grand Prix, men problemer tvang dem til at vende tilbage til den ældre specifikation.
"Vi er stadig på Imola-bilen, som allerede er to måneder gammel, og i F1, hvis du står stille i to måneder, kommer de andre til at bide dig," sagde Sainz til journalister.