Murray og Evans besejrede belgiske Sander Gille og Joran Vliegen med 6-3, 6-7 (8/10), 11-9 og kvalificerede sig dermed til kvartfinalerne på Roland Garros.
De reddede to matchbolde i tiebreaken i sidste sæt, to dage efter at de havde reddet fem matchbolde i deres sejr i første runde.
I et medrivende opgør på Court Suzanne Lenglen, misbrugte det britiske par selv to matchbolde i en gribende tiebreak i andet sæt.
"Det er selvfølgelig utroligt følelsesladet, og det var det også. Man er utroligt glad," siger Murray, som sank ned i sin stol på banen og begravede hovedet i hænderne.
"Og så, af en eller anden grund, ved jeg ikke, hvad der skete. Det var som glade tårer, jeg ved ikke hvorfor."
"Jeg er glad for, at det lykkedes os at komme igennem endnu en fantastisk afslutning. Det kræver meget af dig, den slags. Så jeg er glad for, at vi får en fridag i morgen", tilføjer han.
Murray, som har vundet tre Grand Slam-titler, været nummer et i verden og vundet to olympiske guldmedaljer i single, vil trække sig tilbage, når hans Paris-turnering er overstået.
I år har han lidt af en alvorlig ankelskade og gennemgået en operation for at fjerne en cyste på rygsøjlen, hvilket udelukkede ham fra at spille single for sidste gang i Wimbledon.
På trods af at han reddede syv matchbolde i løbet af to runder, insisterede Murray på, at det ikke betyder, at han er bestemt til at afslutte sin karriere med en tredje guldmedalje.
"Marginalerne er så små. Vi er virkelig nødt til at præstere på et virkelig højt niveau om et par dage", siger Murray.
"Du opbygger selvtillid ved at vinde på den måde i dag, og det kan dine modstandere se. Man kommer tilbage, når man er bagud, og det giver tro på tingene.
"Men man kan ikke have en mentalitet, hvor man tænker, at det her bare vil ske. Vi er nødt til at være tændte til den næste."
Taylor Fritz og Tommy Paul, de tredjeseedede amerikanere, eller Robin Haase og Jean-Julien Rojer fra Holland er det britiske pars næste modstandere.
En sejr der vil bringe dem i semifinalen.
Evans hyldede Murray som "fantastisk".
"Jeg tror ikke, han har lyst til at tage hjem, vel? Jeg ved ikke, hvordan han kan trække sig tilbage på den måde. Vi er tæt på, virkelig tæt på at gøre noget ret specielt. Vi spillede fantastisk i aften", siger Evans.