Russeren, som er den eneste tidligere New York-mester, der er tilbage i herreturneringen efter Novak Djokovic' og Carlos Alcaraz' overraskende exit i den første uge, var glad for at undgå US Open-falddøren.
"Jeg sagde før kampen, at for mig betyder overraskelser ikke rigtig noget. Det eneste, der betyder noget, er, at når forholdene er lidt vanskelige, så har favoritterne måske mindre margin end de andre. Jeg skal bare være mere forsigtig," kommer det fra Medvedev.
"Hvis jeg spiller god tennis, kan jeg vinde det hele. Hvis jeg ikke spiller godt, kan jeg tabe til hvem som helst."
Medvedev fortæller ved samme lejlighed, at han ikke havde forventet at være i den position, han nu er i på vej til fjerde runde.
"Det er en sjov følelse på den ene side, men på den anden side er det en ny turnering," tilføjer Medvedev.
"Jeg er nødt til at spille mit bedste for at forsøge at vinde den igen."
I et opgør præget af lange, udmattende dueller formåede Cobolli at teste Medvedevs forsvar ganske grundigt, men kunne ikke finde en vej forbi manden med tilnavnet "Blæksprutten" for sin evne til at bevæge sig frit på banen og nå hver eneste bold.
Efter at have taget åbningssættet på baggrund af to breaks efter at have tabt serven tidligt, vandt Medvedev, der blev nummer to i Australian Open, et tæt andet sæt og strammede grebet om kampen.
Begge spillere kæmpede med serven i tredje sæt og uddelte mange breaks, men Medvedev tog sig sammen til at lukke sejren og booke et møde med portugisiske Nuno Borges.
"Det var en hård kamp. Det gik lidt op og ned," pointerer Medvedev.
"Og på et tidspunkt begyndte jeg at spille meget bedre på min serv end på hans."
"Det var vanskeligt. Meget fugtigt, meget varmt derude. Jeg tror, det gør forholdene lidt langsommere, for jeg så andre kampe før min ... det var en sjov kamp at spille."